Σε αυτήν την ενότητα θα γνωρίσετε τα βασικά εργαλεία της Στατιστικής...
Το πρώτο από αυτά είναι και το πιο διαδεδομένο, γνωστό σε όλους μας και ως Μέσος Όρος...
1. Μέση τιμή
Η μέση αριθμητική τιμή ή Μέσος όρος προκύπτει από το πηλίκο διαίρεσης του αθροίσματος των τιμών μιας μεταβλητής δια του συνολικού πλήθους τους, δηλαδή του συνόλου των συχνοτήτων τους.
Η μέση τιμή, π.χ. των βαθμών 12, 13, 15, 16, 18 είναι:
Στην προηγούμενη περίπτωση κάθε τιμή της μεταβλητής: βαθμός είχε συχνότητα ίση με τη μονάδα. Στην πράξη οι τιμές των μεταβλητών έχουν συχνά συχνότητα μεγαλύτερη της μονάδας.
Για να ελέγξεις κατά πόσο κατανόησες πώς προκύπτει η Μέση τιμή κάνε κάτι αντίστοιχο και με τις βαθμολογίες : 20,10,15,13,17,18.
Α. Μέση τιμή διακριτής μεταβλητής
Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε τη μέση βαθμολογία 125μαθητών. Προφανώς ορισμένοι βαθμοί αντιστοιχούν σε περισσότερους από ένα μαθητές. Αντί λοιπόν να αθροίσουμε 125 βαθμούς μπορούμε να προσθέσουμε τα γινόμενα κάθε βαθμού επί τον αριθμό των μαθητών που τον έλαβαν.
Η μέση τιμή της βαθμολογίας είναι ίση με το σύνολο των βαθμών δια του συνόλου του αριθμού των μαθητών. Στην περίπτωσή της έχουμε:
Ο μέσος βαθμός είναι λοιπόν 14,6. Η μέση τιμή εκφράζεται της μονάδες της αντίστοιχης μεταβλητής. Αν η μεταβλητή μιας κατανομής εκφράζει την ηλικία σε έτη, η μέση τιμή εκφράζεται σε έτη (με ακέραιη ή δεκαδική μορφή). Αν εκφράζει την επιφάνεια σε τετραγωνικά μέτρα, η μέση τιμή εκφράζεται σε τ.μ. (με ακέραιη ή δεκαδική μορφή.
Β. Μέση τιμή συνεχούς μεταβλητής
Σε μια κατανομή συνεχούς μεταβλητής υποθέτουμε ότι οι περιπτώσεις που αντιστοιχούν σε κάθε κλάση κατανέμονται ομοιόμορφα στο εσωτερικό των κλάσεων, ανάμεσα της τιμές των άκρων. Αν, για παράδειγμα, στην κλάση [450,500) € αντιστοιχεί η συχνότητα 10, υποθέτουμε σε κάθε τμήμα της κλάσης, [450,460), [460,470), [470,480), [480,490), [490,500) αντιστοιχούν 2 περιπτώσεις και ότι επιπλέον στο τμήμα [450,455) αντιστοιχεί 1 περίπτωση, στο τμήμα [455,460) αντιστοιχεί της 1 περίπτωση κ.ο.κ.
Για τον υπολογισμό της μέσης τιμής, σε μια συνεχή κατανομή, κάνουμε την παραδοχή ότι κάθε κλάση μπορεί να εκπροσωπηθεί από το κέντρο της, που είναι το ημιάθροισμα των άκρων της.
Ο μέσος μισθός είναι ίσος με το πηλίκο των 139.200 € δια των 160 μισθωτών, δηλαδή:
Στις δύο παραπάνω κατανομές οι τιμές της μεταβλητής που υπεισέρχονται της υπολογισμούς συμβολίζονται με xi , οι συχνότητες με vi και τα γινόμενα κάθε τιμής της μεταβλητής επί την αντίστοιχη συχνότητα με xi . vi . Με το σύμβολο Σ δηλώνουμε το άθροισμα. Επομένως ο τύπος της μέσης τιμής γίνεται: