Και οι δύο έχουν την ίδια μέση τιμή, το βαθμό 15, αλλά στη δεύτερη περίπτωση η βαθμολογία είναι περισσότερο συγκεντρωμένη γύρω από τη μέση τιμή απ’ ό,τι στην πρώτη. Προκύπτει λοιπόν η ανάγκη ύπαρξης ενός τρόπου υπολογισμού της διακύμανσης των τιμών μιας μεταβλητής γύρω από τη μέση τιμή της κατανομής. Αν από κάθε τιμή της μεταβλητής της πρώτης βαθμολογίας αφαιρέσουμε τη μέση τιμή θα πάρουμε την εξής ακολουθία: -5, -4, -3, 0, 3, 4, 5 με αλγεβρικό άθροισμα ίσο με 0. Αυτό είναι αναμενόμενο διότι οι αποκλίσεις των τιμών μιας μεταβλητής από τη μέση τιμή συνολικά αλληλοαναιρούνται. Αντί λοιπόν των τιμών των αποκλίσεων κρίνεται σκόπιμο να πάρουμε τα τετράγωνα των αποκλίσεων, επειδή ως θετικά μεγέθη έχουν άθροισμα επίσης θετικό. Το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων διαιρείται δια του αθροίσματος των περιπτώσεων προκειμένου να δώσει το μέγεθος που αποκαλείται διακύμανση (variance) ή διασπορά και συμβολίζεται με V.
H διακύμανση εκφράζεται σε μονάδες που αντιστοιχούν στο τετράγωνο των μονάδων της μεταβλητής. Αν π.χ. οι μεταβλητές εκφράζονται σε μήκος, η διακύμανση εκφράζεται σε μήκος στο τετράγωνο, αν οι μεταβλητές εκφράζονται σε ένα νόμισμα, η διακύμανση εκφράζεται σε νόμισμα στο τετράγωνο. Γι’ αυτό το λόγο, εξάγεται η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, για να επανέλθουμε στις μονάδες της κατανομής. Το νέο μέγεθος καλείται τυπική απόκλιση και συμβολίζεται με σ.
Στην πρώτη περίπτωση V = 100/7 = 14,29 και σ = 14,29 = 3,78.
Στη δεύτερη περίπτωση V = 12/7 = 1,71 και σ = 1,71 = 1,31.
Η τυπική απόκλιση που εκφράζει το μέτρο διασποράς γύρω από τη μέση τιμή είναι μικρότερη στη δεύτερη περίπτωση σε σχέση με την πρώτη.
Ας δούμε τώρα μια περίπτωση δύο κατανομών συνεχούς μεταβλητής, συμμετρικών ως προς την κεντρική (ίδια) τιμή και με την ίδια μέση τιμή. Η ταυτόχρονη γραφική παράσταση των δύο κατανομών φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Και οι δύο κατανομές έχουν την ίδια μέση τιμή, 1000 €. Ο υπολογισμός της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης των δύο κατανομών παρουσιάζεται στον παρακάτω πίνακα.
Προκύπτει λοιπόν ότι VA=8660000/226=38318,58 και σA=195,75 €. VΒ=3320000/56=59285,71 και σΒ=243,49 €. Και στην περίπτωση αυτή, όπως εξάλλου φαίνεται και στο προηγούμενο σχήμα, η κατανομή «συγκεντρώνεται» πιο στενά γύρω από τη μέση τιμή σε μεγαλύτερο βαθμό στην πρώτη κατανομή παρά στη δεύτερη.
Η τυπική απόκλιση μιας κατανομής έχει επίσης μια άλλη σημασία. Ας δημιουργήσουμε τρία διαστήματα αμοιβών στην πρώτη από τις δύο προηγούμενες κατανομές:
1) το διάστημα που έχει ως όρια τις αμοιβές που αρχίζουν από το ποσό που είναι μικρότερο από τη μέση τιμή (1000) κατά μια φορά την τυπική απόκλιση (195,75 €) και τελειώνουν στο ποσό που είναι μεγαλύτερο από τη μέση τιμή κατά το ίδιο ποσό.
2) το διάστημα που έχει ως όρια τις αμοιβές που αρχίζουν από το ποσό που είναι μικρότερο από τη μέση τιμή κατά δύο φορές την τυπική απόκλιση (2x195,75=391,50€) και τελειώνουν στο ποσό που είναι μεγαλύτερο από τη μέση τιμή κατά το ίδιο ποσό.
3) το διάστημα που έχει ως όρια τις αμοιβές που αρχίζουν από το ποσό που είναι μικρότερο από τη μέση τιμή κατά τρεις φορές την τυπική απόκλιση (3x195,75=587,25€) και τελειώνουν στο ποσό που είναι μεγαλύτερο από τη μέση τιμή κατά το ίδιο ποσό.
και υπολογίζουμε πόσοι από τους 226 μισθωτούς αμείβονται με ποσά που βρίσκονται στα τρία αυτά διαστήματα αμοιβών.
1) Όσοι λαμβάνουν από 804,25 έως 1195,75 € είναι όλοι όσοι εντάσσονται στις μισθολογικές κατηγορίες 5, 6 και 7 του προηγούμενου πίνακα που αρχίζουν από 850 και τελειώνουν σε 1150 €, δηλαδή 40+44+40=124 και επιπλέον όσοι λαμβάνουν αμοιβές από 804,25 έως 850 € καθώς και όσοι λαμβάνουν αμοιβές από 1150 έως 1195,75 € . Με τη βοήθεια της απλής μεθόδου των τριών, βρίσκουμε ότι στα δύο τελευταία διαστήματα αμοιβών αντιστοιχούν κατά προσέγγιση 26 επιπλέον μισθωτοί, δηλαδή υπάρχουν 124+26=150 μισθωτοί, οι οποίοι αντιπροσωπεύουν το 66,37% του συνόλου.
2) Όσοι λαμβάνουν από 608,50 έως 1391,50 € είναι όλοι όσοι εντάσσονται στις μισθολογικές κατηγορίες 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9 του προηγούμενου πίνακα που αρχίζουν από 650 και τελειώνουν σε 1350 €, δηλαδή 15+28+40+44+40+28+15=210 και επιπλέον όσοι λαμβάνουν αμοιβές από 608,50 έως 650 € καθώς και όσοι λαμβάνουν αμοιβές από 1350 έως 1391,50 €. Με τη βοήθεια της απλής μεθόδου των τριών, βρίσκουμε ότι στα δύο τελευταία διαστήματα αμοιβών αντιστοιχούν κατά προσέγγιση 5 επιπλέον μισθωτοί, δηλαδή υπάρχουν 210+5=215 μισθωτοί οι οποίοι αντιπροσωπεύουν το 95,13% του συνόλου.
3) Τέλος στο διάστημα μισθών από 412,75 έως 1587,25 € περιλαμβάνεται το 100% των μισθωτών.
Απ’ όλες τις συνεχείς, συμμετρικές γύρω από τη μέση τιμή, κατανομές των οποίων η καμπύλη της γραφικής τους παράστασης έχει μια μόνο κορυφή υπάρχει μία, η οποία
στο διάστημα (-σ,+ σ) συγκεντρώνει το 68,27% των περιπτώσεων,
στο διάστημα (-2σ, +2σ) συγκεντρώνει το 95,45% των περιπτώσεων και
στο διάστημα (-3σ, +3σ) συγκεντρώνει το 99,73% των περιπτώσεων.
Η κατανομή αυτή είναι γνωστή ως κανονική κατανομή ή κατανομή Gauss.