Το δεύτερο εργαλείο της στατιστικής που θα ασχοληθούμε είναι η Διάμεσος...
Διάμεσος μιας κατανομής διακριτής κατανομής είναι η τιμή της μεσαίας παρατήρησης του συνόλου των διατεταγμένων τιμών της μεταβλητής κατά αύξουσα τάξη, όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθμός, ή το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθμός.
Παρουσιάζουμε κατά αύξουσα τάξη τις τιμές βαθμολογίας σε τέσσερις κατανομές. Στις δύο πρώτες κατανομές το πλήθος των τιμών είναι άρτιο και στις δύο τελευταίες περιττό. Οι ενδιάμεσες τιμές δηλώνονται με έντονους χαρακτήρες.
10 12 13 14 16 18 19
11 12 13 14 14 15 16
11 12 13 14 14 15 16 19
11 12 13 14 15 15 16 18
Σύμφωνα με όσα είπαμε, η διάμεσος της τρεις πρώτες κατανομές είναι ίση με 14, ενώ η διάμεσος της τέταρτης κατανομής είναι ίση με 14,5.
Η διάμεσος μιας συνεχούς κατανομής υπολογίζεται, μετά την κατασκευή της αθροιστικής κατανομής, με τη βοήθεια της απλής μεθόδου των τριών. Στην αθροιστική κατανομή της μισθοδοσίας των 160 υπαλλήλων στην οποία αναφερθήκαμε προηγουμένως, αναζητούμε την αμοιβή που αντιστοιχεί στον 80ο μισθωτό.
Παρατηρούμε ότι η αμοιβή του βρίσκεται στο διάστημα από 820 έως 900 € μέχρι 820 € λαμβάνουν 51 μισθωτοί. Οι εναπομένοντες 29 (μέχρι τους 80) πρέπει να αναζητηθούν μεταξύ των 40 της κλάσης 820 έως 900 € και εφόσον έχουμε υποθέσει ότι τα άτομα κάθε κλάσης διαμοιράζονται αναλογικά το ποσό που είναι ίσο με το εύρος της κλάσης (80 €), ο 29ος μισθωτός θα λαμβάνει, επιπλέον των 820 €, τα 29/40 των 900 - 820=80 €, δηλαδή 58 €. Η διάμεσος αμοιβή θα είναι, επομένως, ίση
με 820+58=878 €.
Η διάμεσος είναι η τιμή της μεταβλητής εκείνη που χωρίζει μια κατανομή σε δύο ίσα μέρη κατά τέτοιο τρόπο ώστε όσα «άτομα» της κατανομής αντιστοιχούν σε τιμές της μεταβλητής μεγαλύτερες της διαμέσου να ίσα με εκείνα στα οποία αντιστοιχούν τιμές της μεταβλητής μικρότερες της διαμέσου. Στην προηγούμενη κατανομή η μέση τιμή ήταν 870 € και η διάμεσος 878 €, δηλαδή μια παραπλήσια τιμή. Η κατανομή λοιπόν μπορεί να εκπροσωπηθεί από τη μία ή την άλλη κεντρική τιμή. Αυτό συμβαίνει όταν οι ακραίες τιμές της μεταβλητές είναι μικρότερες των ενδιαμέσων και υπάρχει μια κλιμάκωση τιμών προς μια μέγιστη τιμή και στη συνέχεια μια αποκλιμάκωση προς μικρότερες τιμές. Η γραφική παράσταση τέτοιων κατανομών έχει τη μορφή εκείνων των παραγράφων 1.10.1 και 1.10.2.
Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση της βαθμολογίας 5 μαθητών με βαθμούς 10, 10, 11, 19, 20. Σύμφωνα με όσα έχουν προηγηθεί η μέση τιμή της βαθμολογίας είναι 14 και ο διάμεσος βαθμός είναι ο 11. Ποιος από τους δύο βαθμούς είναι καλύτερος εκπρόσωπος της βαθμολογίας; Το 14 ανταποκρίνεται στο ρόλο της μέσης τιμής, αλλά παρατηρούμε ότι υπάρχουν 3 μαθητές με μικρότερο βαθμό και 2 με πολύ μεγαλύτερο.
Στη συγκεκριμένη περίπτωση η μέση τιμή δεν αντιπροσωπεύει με μεγάλη επιτυχία την κατανομή. Η διάμεσος μας πληροφορεί ότι υπάρχουν δύο μαθητές με βαθμό μικρότερο του 11 και άλλοι τόσοι με βαθμό μεγαλύτερο απ΄ αυτόν. Αυτό δίνει καλύτερα την εικόνα της ιδιαίτερης αυτής βαθμολογίας, με τους περισσότερους (3 στους 5) μαθητές να έχουν χαμηλούς βαθμούς, ενώ ένας μέσος όρος ίσος με 14 δεν πληροφορεί για το πώς οι βαθμοί κατανέμονται. μέση τιμή 14 θα είχε και η βαθμολογία 13, 13, 14, 15, 15.